概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率论中描述连续型随机变量在某一点附近的概率密度的函数。对于连续型随机变量，我们不能像离散型随机变量那样直接计算某个具体值的概率，而是计算某个区间内的概率。概率密度函数的直观含义是在随机变量取值的某个小区间内，变量取值落在这个区间的概率与这个区间长度的比值。
概率密度函数的计算公式如下：
非负性：对于任意的 ( x )，概率密度函数 ( f(x) ) 非负，即 ( f(x) \geq 0 )。
归一性：概率密度函数在定义域上的积分等于1，即 ( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) , dx = 1 )。这表示随机变量取任何值的概率之和为1。
概率计算：随机变量 ( X ) 在区间 ( [a, b] ) 内取值的概率可以通过计算概率密度函数在这个区间上的积分来得到，即 ( P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) , dx )。
均值和方差：连续型随机变量的均值 ( E(X) ) 和方差 ( Var(X) ) 可以通过概率密度函数计算得到。均值是概率密度函数的首矩，方差是概率密度函数的二阶中心矩。
均值 ( E(X) ) 的计算公式为： [ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) , dx ]
方差 ( Var(X) ) 的计算公式为： [ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 ] 其中 ( E(X^2) ) 是随机变量 ( X^2 ) 的期望值，计算公式为： [ E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) , dx ]
累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）与PDF的关系：累积分布函数 ( F(x) ) 表示随机变量 ( X ) 小于或等于某个值 ( x ) 的概率，它可以通过概率密度函数积分得到： [ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) , dt ]
在实际应用中，概率密度函数的形式多种多样，常见的有正态分布、均匀分布、指数分布等。每种分布都有其特定的PDF形式，它们在统计学、信号处理、物理学等领域有着广泛的应用。掌握概率密度函数的计算方法对于理解和应用这些分布至关重要。
