三角函数所有公式汇总

三角函数是数学中的一个重要分支，它们在解决几何问题、物理问题以及工程学中都有着广泛的应用。三角函数主要研究角度与三角形边长之间的关系，特别是在直角三角形中。以下是三角函数的一些基本公式汇总：

1. 定义公式：

   • 正弦函数（sin）：对于直角三角形，sin(θ) = 对边 / 斜边
   • 余弦函数（cos）：cos(θ) = 邻边 / 斜边
   • 正切函数（tan）：tan(θ) = 对边 / 邻边 = sin(θ) / cos(θ)
   • 余切函数（cot）：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 邻边 / 对边
   • 正割函数（sec）：sec(θ) = 1 / cos(θ)
   • 余割函数（csc）：csc(θ) = 1 / sin(θ)

2. 基本关系式：

   • Pythagorean Identity：sin²(θ) + cos²(θ) = 1
   • tan²(θ) + 1 = sec²(θ)
   • 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

3. 和差公式：

   • sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
   • sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)
   • cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
   • cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
   • tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))
   • tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))

4. 倍角公式：

   • sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
   • cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
   • tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))

5. 半角公式：

   • sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / 2)
   • cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ)) / 2)
   • tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))) = sin(θ) / (1 + cos(θ))

6. 和角公式的逆用：

   • 如果 sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)
   • 如果 sin(α) - sin(β) = 2cos((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)

7. 正弦定理和余弦定理：

   • 在任意三角形中，对于边a、b、c和对应的角度A、B、C，有：
     • a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
     • a² = b² + c² - 2bc * cos(A)

8. 反三角函数：

   • arcsin(x)、arccos(x) 和 arctan(x) 分别表示求出正弦、余弦和正切等于x的角度。

这些公式是三角函数中最基础且常用的，掌握它们对于解决相关问题至关重要。在实际应用中，根据具体问题选择合适的公式进行计算，可以大大提高解题效率。