勾函数，也被称为“对勾函数”或“耐克函数”，是数学中的一种特殊函数形式，其图像呈现出类似耐克标志的形状。这类函数通常具有以下形式：
[ f(x) = ax \frac{b}{x} \quad (a, b \neq 0) ]
其中，( a ) 和 ( b ) 是常数。对勾函数在数学的许多领域中都有应用，包括优化问题、经济学、物理学等。在这些应用中，经常需要求解对勾函数的最大值或最小值。
对勾函数的最值性质
对勾函数的图像是关于其对称轴对称的，对称轴的方程为 ( x = \sqrt{\frac{b}{a}} )。在对称轴的左侧，函数是递减的；在对称轴的右侧，函数是递增的。这意味着对勾函数在其定义域内有一个唯一的极值点，这个极值点就是函数的最大值或最小值。
求最值的一般步骤
确定对称轴：首先确定对勾函数的对称轴 ( x = \sqrt{\frac{b}{a}} )。
检查定义域：确定函数的定义域。对勾函数的定义域取决于分母不能为零，即 ( x \neq 0 )。
计算极值点：在对称轴 ( x = \sqrt{\frac{b}{a}} ) 处计算函数值 ( f(\sqrt{\frac{b}{a}}) )。
判断最值类型：根据 ( a ) 和 ( b ) 的符号，判断极值点是最大值还是最小值。
- 如果 ( a > 0 ) 且 ( b > 0 )，则极值点是最小值。
- 如果 ( a < 0 ) 且 ( b > 0 )，则极值点是最大值。
- 如果 ( a ) 和 ( b ) 同号，则函数没有极值。
检查端点值：如果函数的定义域有限，则还需要检查定义域端点处的函数值，以确定全局最大值或最小值。
示例
考虑函数 ( f(x) = 3x \frac{2}{x} )，我们按照上述步骤求解其最值：
确定对称轴：对称轴 ( x = \sqrt{\frac{2}{3}} )。
检查定义域：定义域为 ( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) )。
计算极值点：在 ( x = \sqrt{\frac{2}{3}} ) 处，( f(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 3\sqrt{\frac{2}{3}} \frac{2}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = 3\sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{6} )。
判断最值类型：因为 ( a = 3 > 0 ) 和 ( b = 2 > 0 )，所以极值点是最小值。
检查端点值：由于定义域是开区间，没有端点值需要检查。
因此，函数 ( f(x) = 3x \frac{2}{x} ) 的最小值为 ( 3\sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{6} )。
结论
对勾函数的最值求解是一个相对简单的过程，主要依赖于函数的对称轴和定义域。通过上述步骤，我们可以有效地找到对勾函数的最大值或最小值，这对于解决实际问题中的优化问题非常有帮助。在实际应用中，对勾函数的最值求解还可以与其他数学工具和方法结合使用，以解决更复杂的问题。
